Phương trình truyền sóng hay còn gọi là phương trình d'Alembert mô tả sự truyền đi của sóng điện từ trong môi trường.

Điện trường

Bắt đầu từ phương trình:

∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\textbf {E}})-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Trong chân không (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng:

∇ ⋅ E = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=0}

nên phương trình đầu tiên trở thành:

∇ × ( ∇ × E ) = − ∇ 2 E {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}} .

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}}

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

∇ × ( − ∂ B ∂ t ) = ∇ × ( ∇ × E ) = − ∇ 2 E {\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}\right)=\nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Theo định luật Schwartz ta có thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý phi tương đối tính):

− ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − ∇ 2 E {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\textbf {B}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}}

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không j = 0 {\displaystyle {\textbf {j}}={\textbf {0}}} , nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

∇ × B = 1 c 2 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\textbf {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\textbf {E}}}{\partial t}}}

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường E {\displaystyle {\textbf {E}}} với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

∇ 2 E = 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}}

Trong một số sách, ta có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng:

Δ E = 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \Delta {\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}}

với toán tử Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} .

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt gọn:

Δ E = 0 {\displaystyle \Delta {\textbf {E}}=0} .

Từ trường

Hoàn toàn tương tự như trên cho từ trường, ta có:

r o t → ( r o t → H → ) = g r a d → ( d i v H → ) − ∇ 2 H → {\displaystyle {\vec {rot}}({\vec {rot}}{\vec {H}})={\vec {grad}}(div{\vec {H}})-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Trong chân không mật độ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

r o t → H → = ϵ 0 ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {rot}}{\vec {H}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

Phương trình trên trở thành:

r o t → ( ϵ 0 ∂ E → ∂ t ) = − ∇ 2 H → {\displaystyle {\vec {rot}}(\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Theo định luật Schwartz ta co thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian:

ϵ 0 ∂ ∂ t ( r o t → E → ) = − ∇ 2 H → {\displaystyle \epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {rot}}{\vec {E}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}}

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có: r o t → E → = − μ 0 ∂ H → ∂ t {\displaystyle {\vec {rot}}{\vec {E}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}

Thu được:

∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t 2 {\displaystyle {\nabla }^{2}{\vec {H}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}}

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần từ trường) trong chân không.